據環保部門測定,某處的污染指數與附近污染源的強度成正比,與到污染源距離的平方成反比,比例常數為.現已知相距18
的A,B兩家化工廠(污染源)的污染強度分別為
,它們連線上任意一點C處的污染指數
等于兩化工廠對該處的污染指數之和.設
(
).
(1)試將表示為
的函數; (2)若
,且
時,
取得最小值,試求
的值.
(1) , (2) 8.
解析試題分析:(1)解實際問題應用題,關鍵要正確理解題意,正確列出等量關系,注意考慮函數定義域. 設點C受A污染源污染程度為,點C受B污染源污染程度為
,其中
為比例系數,且
.從而點C處受污染程度
.定義域為
(2) 因為
,所以,
,求復雜分式函數最值,通常考慮利用導數求解.
,令
,得
,因此函數在
單調減,在
單調增,即在
時函數取極小值,也是最小值. 又此時
,解得
,經驗證符合題意.
解:(1)設點C受A污染源污染程度為,點C受B污染源污染程度為
,其中
為比例系數,且
. 4分
從而點C處受污染程度. 6分
(2)因為,所以,
, 8分
,令
,得
, 12分
又此時,解得
,經驗證符合題意.
所以,污染源B的污染強度的值為8. 14分
考點:利用導數求函數值域
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數 ,
.
(1)當 時,求函數
的最小值;
(2)當 時,求證:無論
取何值,直線
均不可能與函數
相切;
(3)是否存在實數,對任意的
,且
,有
恒成立,若存在求出
的取值范圍,若不存在,說明理由。
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(2013•浙江)已知a∈R,函數f(x)=2x3﹣3(a+1)x2+6ax
(Ⅰ)若a=1,求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程;
(Ⅱ)若|a|>1,求f(x)在閉區間[0,|2a|]上的最小值.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數f(x)=x3-ax+1.
(1)求x=1時,f(x)取得極值,求a的值;
(2)求f(x)在[0,1]上的最小值;
(3)若對任意m∈R,直線y=-x+m都不是曲線y=f(x)的切線,求a的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數
(1)若函數的圖象切x軸于點(2,0),求a、b的值;
(2)設函數的圖象上任意一點的切線斜率為k,試求
的充要條件;
(3)若函數的圖象上任意不同的兩點的連線的斜率小于l,求證
.
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