Question

根據下列條件寫出拋物線的標準方程

(1) 經過點P(-2，-4) ；
(2) 焦點為直線3x-4y-12=0 與坐標軸的交點

Answer 1

解：(1)因為點P在第三象限，
所以滿足條件的拋物線（如圖）的標準方程可以是y²=-2p₁x(p₁>0)或x²=-2p₂y(p₂>0)，
解得p₁=4，p₂=    
因此，滿足條件的拋物線有兩條，它們的標準方程分別為y²= -8x和x²=-y.    
(2)對于直線方程3x-4y-12=0，
令x=0，得y=-3;令y=0，得x=4，    
∴拋物線的焦點為（0，-3）或(4，0).
當焦點為（0，-3）時，，
∴p=6，此時拋物線的標準方程為x²=-12y；
當焦點為(4，0)時，，
∴p=8，此時拋物線的標準方程為y²=16x，    
∴滿足條件的拋物線有兩條，它們的標準方程分別為x²=-12y和y²=16x．