Question

8．已知正四棱臺上、下底面的邊長分別為4、10，側棱長為6．
（1）求正四棱臺的表面積；
（2）求正四棱臺的體積．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求出四棱臺的高與斜高．
（1）由上下底面面積加側面積求得四棱臺的表面積；
（2）直接由棱臺體積公式求解．

解答 解：如圖，

ABCD-A₁B₁C₁D₁為正四棱臺，AB=4，A₁B₁=10，AA₁=6．
在等腰梯形A₁B₁BA中，過A作AE⊥A₁B₁，可得${A}_{1}E=\frac{10-4}{2}=3$，
求得AE=$\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}-{A}_{1}{E}^{2}}=3\sqrt{3}$．
連接AC，A₁C₁，可得AC=$4\sqrt{2}$，${A}_{1}{C}_{1}=10\sqrt{2}$，
過A作AG⊥A₁C₁，可得${A}_{1}G=\frac{10\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$．
∴$AG=\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}-{A}_{1}{G}^{2}}=3\sqrt{2}$．
（1）正四棱臺的表面積S=${4}^{2}+1{0}^{2}+4×\frac{1}{2}（4+10）×3\sqrt{3}=116+84\sqrt{3}$；
（2）${V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}=\frac{1}{3}×3\sqrt{2}（16+100+\sqrt{16×100}）$=$156\sqrt{2}$．

點評 本題考查棱臺的面積和體積的求法，考查數形結合的解題思想方法，關鍵是熟記公式，是中檔題．