Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=2a_n-n
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=（2n+1）（a_n+1），求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據題中已知條件S_n=2a_n-n，得出n≥2時，S_n-1=2a_n-1-（n-1）此兩式作差整理即可得到入a_n+1所滿足的關系，從而可求出數列{a_n+1}的通項公式得到所求；
（2）根據數列{b_n}的通項可知利用錯位相消法進行求和，從而可求出數列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）∵S_n=2a_n-n
當n=1時，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1
當n≥2時，S_n=2a_n-n   ①
S_n-1=2a_n-1-n+1        ②
①-②得a_n=2a_n-1+1即a_n+1=2（a_n-1+1）
∵a₁+1=2≠0∴a_n-1+1≠0
∴

an+1

an-1+1

=2
∴{a_n+1}是以首項為2，公比為2的等比數列
a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ-1
（2）b_n=（2n+1）•2ⁿ
T_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，
2T_n=3•2²+5•2³+7•2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=6+2（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=2+（2n-1）•2ⁿ⁺¹．

點評：本題主要考查了利用構造法求數列的通項，以及利用錯位相消法求數列的前n項和，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．