Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意的n∈N^*都有S_n=2a_n-n，
（1）求數(shù)列{a_n}的前三項a₁，a₂，a₃，
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列遞推式進行賦值，確定相鄰項的關(guān)系，即可求出結(jié)論；
（2）利用（1）的結(jié)論猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．

解答：解：（1）令n=1，S₁=2a₁-1．∴a₁=1
又S_n+1=2a_n+1-（n+1），S_n=2a_n-n，
兩式相減得，a_n+1=2a_n+1-2a_n-1，∴a_n+1=2a_n+1
∴a₂=3，a₃=7
（2）猜想a_n=2ⁿ-1
證明如下：①由（1）知，n=1時，結(jié)論成立；
②設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即ak=2k-1
則n=k+1時，ak+1=2ak+1=2(2k-1)+1=2^k+1-1
即n=k+1時，結(jié)論成立
由①②可知，猜想成立．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列通項的探求，考查數(shù)學(xué)歸納法的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．