Question

（本題滿(mǎn)分16分）

已知數(shù)列為各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，其公比為q．

（1）當(dāng)q＝時(shí)，在數(shù)列中：

     ①最多有幾項(xiàng)在1～100之間？

     ②最多有幾項(xiàng)是1～100之間的整數(shù)？

（2）當(dāng)q＞1時(shí)，在數(shù)列中，最多有幾項(xiàng)是100～1000之間的整數(shù)？

（參考數(shù)據(jù)：lg3=0.477，lg2=0.301）．

Answer 1

（本題滿(mǎn)分16分）

解：（1）①不妨設(shè)≥1，設(shè)數(shù)列有n項(xiàng)在1和100之間，則

        ≤100．所以，≤100．

兩邊同取對(duì)數(shù)，得 （n－1）（ lg3－lg2）≤2．解之，得 n≤12.37．

故n的最大值為12，即數(shù)列中，最多有12項(xiàng)在1和100之間．……………5分

②不妨設(shè)1≤…≤100，其中，， ，…， 均為整數(shù)，所以為2的倍數(shù)．所以3≤100，所以n≤5．………8分

又因?yàn)?6，24，36，54，81是滿(mǎn)足題設(shè)要求的5項(xiàng)．

所以，當(dāng)q＝時(shí)，最多有5項(xiàng)是1和100之間的整數(shù)．…………………………10分

（2）設(shè)等比數(shù)列滿(mǎn)足100≤aaq…≤1000，

其中a，aq，…，均為整數(shù)，，顯然，q必為有理數(shù)．…………11分

設(shè)q=，t＞s≥1，t與s互質(zhì)，

        因?yàn)?=為整數(shù)，所以a是的倍數(shù)．………………………………12分

        令t=s+1，于是數(shù)列滿(mǎn)足 100≤a＜a·＜…＜a·≤100．

如果s≥3，則1000≥a·≥（q+1）n－1≥4n－1，所以n≤5．

如果s=1，則1000≥a·≥100·，所以，n≤4．

如果s=2，則1000≥a·≥100·，所以n≤6．……………………………13分

另一方面，數(shù)列128，192，288，432，648，972滿(mǎn)足題設(shè)條件的6個(gè)數(shù)，

所以，當(dāng)q＞1時(shí)，最多有6項(xiàng)是100到1000之間的整數(shù)．………………………16分