Question

已知函數f （x）=ax²+bx+

1

4

與直線y=x相切于點A（1，1），若對任意x∈[1，9]，不等式f （x-t）≤x恒成立，則所有滿足條件的實數t的值為

4

．

Answer 1

分析：對f（x）進行求導，根據它與直線y=x相切于點A（1，1），可得f′（1）=0，可得把點A代入得到方程，求出a，b，求出f（x）的解析式，根據題意對任意x∈[1，9]，不等式f （x-t）≤x恒成立，根據根與系數的關系進行求解；

解答：解：∵已知函數f （x）=ax²+bx+

1

4

與直線y=x相切于點A（1，1），
f′（x）=2ax+b，
∴f′（1）=1，可得2a+b=1①，又f（x）過點A（1，1）可得a+b+

1

4

=1②，
聯立方程①②可得a=

1

4

，b=

1

2

，
f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

，
∵對任意x∈[1，9]，不等式f （x-t）≤x恒成立，
可得f（x-t）=

1

4

（x-t+1）²≤x，
化簡可得，x²-2x（t-1）+（t-1）²-4x≤0，在[1，9]上恒成立，
令g（x）=x²-2x（t+1）+（t-1）²≤0，在[1，9]上恒成立，
∴

g(1)≤0  ① g(9)≤0    ② △≥0           ③

，
解①可得0≤t≤4，
解②可得4≤t≤14，
解③可得t≥4
綜上可得：t=4，
故答案為4

點評：考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件；