Question

對于函數f（x）=3sin（2x+

π

6

），給出下列命題：
①圖象關于原點成中心對稱
②圖象關于直線x=

π

6

對稱
③函數f（x）的最大值是3
④函數的一個單調增區間是[-

π

4

，

π

4

]
其中正確命題的序號為

②③

．

Answer 1

分析：利用正弦函數的單調性、對稱性及最值等性質對①②③④逐個判斷即可．

解答：解：∵f（x）=3sin（2x+

π

6

），
∴f（0）=

3

2

≠0，
∴其圖象不關于原點成中心對稱，故①錯誤；
由2x+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z）得：x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），
∴函數f（x）=3sin（2x+

π

6

）的對稱軸方程為：x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），
當k=0時，x=

π

6

，
∴其圖象關于直線x=

π

6

對稱，即②正確；
又當2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x=kπ+

π

6

時，函數f（x）取到最大值3，故③正確；
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）時，函數f（x）=3sin（2x+

π

6

）單調遞增，
∴當k=0時，函數的一個單調增區間是[-

π

3

，

π

6

]，故④函數的一個單調增區間是[-

π

4

，

π

4

]錯誤．
綜上所述，正確命題的序號為②③．
故答案為：②③．

點評：不同考查命題的真假判斷與應用，著重考查正弦函數的單調性、對稱性及最值，屬于中檔題．