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10.如圖,某廣場中間有一塊邊長為2百米的菱形狀綠化區(qū)ABCD,其中BMN是半徑為1百米的扇形,∠ABC=$\frac{{2{π}}}{3}$.管理部門欲在該地從M到D修建一條小路:在弧$\widehat{MN}$上選一點(diǎn)P(異于M、N兩點(diǎn)),過點(diǎn)P修建與BC平行的小路PQ.問:點(diǎn)P選擇在何處時,才能使得修建的小路$\widehat{MP}$與PQ及QD的總長最小?并說明理由.

分析 連接BP,過P作PP1⊥BC垂足為P1,過Q作QQ1⊥BC垂足為Q1,設(shè)∠PBP1=θ$({0<θ<\frac{{2{π}}}{3}})$,∠MBP=$\frac{{2{π}}}{3}$-θ,則總路徑長f(θ)=$\frac{{2{π}}}{3}$-θ+4-cosθ-$\sqrt{3}$sinθ,(0<θ<$\frac{2π}{3}$),求導(dǎo),可得函數(shù)的最小值點(diǎn).

解答 解:連接BP,過P作PP1⊥BC垂足為P1
過Q作QQ1⊥BC垂足為Q1
設(shè)∠PBP1=θ$({0<θ<\frac{{2{π}}}{3}})$,∠MBP=$\frac{{2{π}}}{3}$-θ        …(2分)
若$0<θ<\frac{π}{2}$,在Rt△PBP1中,PP1=sinθ,BP1=cosθ,
若$θ=\frac{π}{2}$,則PP1=sinθ,BP1=cosθ,
若$\frac{π}{2}$<θ<$\frac{2π}{3}$,則PP1=sinθ,BP1=cos(π-θ)=-cosθ,
∴$PQ=2-cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinθ$        …(4分)
在Rt△QBQ1中,QQ1=PP1=sinθ,CQ1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinθ,CQ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinθ,$DQ=2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sinθ$            …(6分)
所以總路徑長f(θ)=$\frac{{2{π}}}{3}$-θ+4-cosθ-$\sqrt{3}$sinθ,(0<θ<$\frac{2π}{3}$),…(10分)
${f^'}(θ)=sinθ-\sqrt{3}cosθ-1=2sin(θ-\frac{π}{3})-1$                …(12分)
令f'(θ)=0,$θ=\frac{π}{2}$當(dāng)$0<θ<\frac{π}{2}$ 時,f'(θ)<0當(dāng)$\frac{π}{2}<θ<\frac{{2{π}}}{3}$ 時,f'(θ)>0                 …(14分)
所以當(dāng)$θ=\frac{π}{2}$時,總路徑最短.
答:當(dāng)BP⊥BC時,總路徑最短.…(16分)

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,三角函數(shù)的應(yīng)用,難度中檔.

練習(xí)冊系列答案
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20.已知關(guān)于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),則關(guān)于x的不等式$\frac{ax-b}{x-2}$>0的解集是(  )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(1,2)D.(2,+∞)

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1.已知($\sqrt{x}$-$\frac{a}{x}$)6的展開式中含x${\;}^{\frac{3}{2}}}$的項(xiàng)的系數(shù)為30,則實(shí)數(shù)a=-5.

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18.在人壽保險業(yè)中,要重視某一年齡的投保人的死亡率,經(jīng)過隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì),得到某市一個投保人能活到75歲的概率為0.60,試問:
(1)若有3個投保人,求能活到75歲的投保人數(shù)ξ的分布列;
(2)3個投保人中至少有1人能活到75歲的概率.(結(jié)果精確到0.01)

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5.若f(x)在[-5,5]上是奇函數(shù),且f(3)<f(1),則必有(  )
A.f(0)>f(1)B.f(-1)<f(-3)C.f(-1)<f(1)D.f(-3)>f(-5)

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15.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1且an+1-an=n+1(n∈N*),則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前20項(xiàng)和為(  )
A.$\frac{40}{21}$B.$\frac{41}{20}$C.2D.$\frac{43}{20}$

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2.用若干塊相同的小正方體搭成一個幾何體,從兩個角度觀察得到的圖形,則搭成該幾何體最少需要的小正方體的塊數(shù)是(  )塊?
A.8B.7C.6D.5

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19.已知點(diǎn)P在拋物線y2=4x上,那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2,-1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為(  )
A.$\frac{1}{4}$B.-$\frac{1}{4}$C.-4D.4

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20.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=$\frac{1}{2}$,若$\frac{{{S_{10}}}}{S_5}$=$\frac{31}{32}$,則a6=(  )
A.$\frac{1}{64}$B.-$\frac{1}{64}$C.$\frac{1}{32}$D.-$\frac{1}{32}$

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同步練習(xí)冊答案
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