Question

在圓x²+y²=5x內，過點(

5

2

，

3

2

)有n條弦的長度成等差數列，最短弦長為數列的首項a₁，最長弦長為a_n，若公差d∈(

1

6

，

1

3

]，那么n的取值集合

 

．

Answer 1

分析：由題意過點(

5

2

，

3

2

)有n條弦的長度成等差數列，最短弦長為數列的首項a₁，最長弦長為a_n，利用圓中的弦長公式求出a₁，a_n又由于，成等差數列，得到公差d，利用公差的范圍及n為正整數逼出n的取值．

解答：解：∵圓的方程為x²+y²=5x，化成圓的標準方程為：(x-

5

2

)2+y2=

25

4

，
由此可以知道圓心：(

5

2

，0)圓的半徑為

5

2

，
利用圓的性質可以知道最短弦應為過已知定點與圓心連線垂直的弦最短由此得a₁=

2	( 5 2 )2-[ ( 5 2 - 5 2 ) 2( 3 2 -0)2 ]

=4，
最長弦為過定點的圓的直徑an=

5

2

×2=5，∴d=

an-a1

n-1

=

1

n-1

，
∵

1

6

＜d≤

1

3

，∴

1

6

＜

1

n-1

≤

1

3

，
∴3≤n-1＜6，∴4≤n＜7，n∈N⁺，
∴n=4，5，6；
故答案為：n=4，5，6．

點評：此題重點考查了圓中求解弦的最大與最小，還考查了等差數列的任意兩項間的通項公式及利用公差的范圍和n的取值范圍逼出n的數值．