Question

在圓x²+y²=5x內，過點(

5

2

，

3

2

)有n（n∈N^*）條弦，它們的長構成等差數列，若a₁為過該點的最短弦的長，a_n為過該點的最長弦的長，公差d∈(

1

5

，

1

3

)，那么n的值是（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：根據圓的性質可得過點(

5

2

，

3

2

)的最短弦即為與圓心和此點的連線垂直的弦并且這個弦長可由勾股定理求出，而過點(

5

2

，

3

2

)的最長弦即為圓的直徑，然后再結合等差數列的通項公式和公差的范圍求出n的范圍即可得解．

解答：解：∵x²+y²=5x
∴(x-

5

2

)2+y2=

25

4

∴過點(

5

2

，

3

2

)的最短弦即為與圓心和此點的連線垂直的弦有勾股定理可得a₁=2

( 5 2 )2- ( 3 2 )2

=4
過點(

5

2

，

3

2

)的最長弦即為圓的直徑即a_n=5
∴a_n=a₁+（n-1）d
∴d=

1

n-1

∵d∈( 

1

5

，

1

3

)
∴

1

5

＜

1

n-1

＜

1

3

∴4＜n＜6
∵n∈N₊
∴n=5
故選D

點評：此題主要是對數列與圓的綜合問題的考查．解題的關鍵是要分析出最短和最長的弦長然后利用等差數列的通項公式再結合公差d的范圍求出n的值！