Question

在圓x²+y²=5x內，過點(

5

2

，

3

2

)有n（n∈N^*）條弦，它們的長構成等差數列，若a₁為過該點最短弦的長，a_n為過該點最長弦的長，公差d∈(

1

5

，

1

3

)，那么n的值是

 

．

Answer 1

分析：由“r，d”法分別求得最短和最長弦長，即得到等差數列首項和未項，由等差數列通項公式結合公差d∈(

1

5

，

1

3

)，確定n的范圍從而求得．

解答：解：x2+y2=5x?(x-

5

2

)2+y2=

25

4

?圓心C(

5

2

，0)，半徑R=

5

2

，
故與PC垂直的弦是最短弦，所以a1=2

R2-( PC 2 )2

=4，
而過P、C的弦是最長弦，所以a_n=2R=5，
由等差數列an=a1+(n-1)d?5=4+(n-1)d?d=

1

n-1

，d∈(

1

5

，

1

3

)?4＜n＜6，
因n∈N*，所以n=5，
故答案為：5．

點評：本題在考查等差數列的通項公式中滲透了直線與圓的位置關系和數域的應用．