Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n是S_n與2的等差中項，數列{b_n}中，b₁＝1，點P(b_n，b_n+1)在直線x－y＋2＝0上．

(1)求a₁和a₂的值；

(2)求數列{a_n}，{b_n}的通項公式a_n和b_n；

(3)設c_n＝a_n·b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵an是Sn與2的等差中項 　　∴Sn＝2an－2 　　∴a1＝S1＝2a1－2， 　　解得a1＝2 　　a1＋a2＝S2＝2a2－2，解得a2＝4 　　(2)∵Sn＝2an－2，Sn－1＝2an－1－2，又Sn－Sn－1＝an， 　　∴an＝2an－2an－1， 　　又an≠0，∴，即數列{an}是等比數列 　　∵a1＝2，∴an＝2n 　　∵點P(bn，bn+1)在直線x－y＋2＝0上，∴bn－bn+1＋2＝0， 　　∴bn+1－bn＝2，即數列{bn}是等差數列，又b1＝1，∴bn＝2n－1， 　　(3)∵cn＝(2n－1)2n 　　∴Tn＝a1b1＋a2b2＋……anbn＝1×2＋3×22＋5×23＋……＋(2n－1)2n， 　　∴2Tn＝1×22＋3×23＋……＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n+1 　　則－Tn＝1×2＋(2×22＋2×23＋…＋2×2n)－(2n－1)2n+1， 　　即：－Tn＝1×2＋(23＋24＋…＋2n+1)－(2n－1)2n+1， 　　∴Tn＝(2n－3)2n+1＋6