Question

已知α∈[0，π]，討論方程x²cosα+y²sinα=1所表示的曲線的類型，當(dāng)它表示圓錐曲線時，試求其離心率．

Answer 1

分析：對α分類討論和利用圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出．

解答：解：①當(dāng)α=0時，sinα=0，cosα=1，方程表示兩條直線x=±1；       
②當(dāng)0＜α＜

π

4

時，0＜sinα＜cosα，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
其離心率為

1-tanα

；                                          
③當(dāng)α=

π

4

時，sinα=cosα=

2

2

，方程表示中心在原點(diǎn)的圓；        
④當(dāng)

π

4

＜α＜

π

2

時，0＜cosα＜sinα，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，
其離心率為

tanα-1

⑤當(dāng)α=

π

2

時，cosα=0，sinα=1，方程表示兩條直線y=±1；        
⑥當(dāng)

π

2

＜α＜π，sinα＞0，cosα＜0，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，
其離心率為

1-tanα

⑦當(dāng)α=π時，cosα=-1，sinα=0，方程變?yōu)閤²=-1，
它不表示任何曲線．

點(diǎn)評：熟練掌握圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．