Question

8．已知函數f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，g（x）=-ax+b．
（I）討論函數h（x）=f（x）-g（x）單調區間；
（II）若直線g（x）=-ax+b是函數f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$圖象的切線，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得h（x）的解析式和導數，討論a=0，a＞0，a＜0，由導數大于0，可得增區間；導數小于0，可得減區間；
（Ⅱ）設切點（m，lnm-$\frac{1}{m}$），求得切線的方程，對照已知直線y=g（x），可得a，b的式子，令-a+b=φ（t）=-lnt+t²-t-1，t＞0，求得導數和單調區間，即可得到所求最小值．

解答 解：（Ⅰ）h（x）=f（x）-g（x）=lnx-$\frac{1}{x}$+ax-b（x＞0），
則h′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$+a=$\frac{a{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}}$（x＞0），
令y=ax²+x+1                     …（2分）
（1）當a=0時，h′（x）＞0，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增．…（3分）
（2）當a＞0時，△=1-4a，
若△≤0，即a≥$\frac{1}{4}$時，h′（x）＞0，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
△＞0，即0＜a＜$\frac{1}{4}$，由ax²+x+1=0，得x_1，2=$\frac{-1±\sqrt{1-4a}}{2a}$＜0，
函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（3）當a＜0時，△=1-4a＞1，
由ax²+x+1=0，得x₁=$\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2a}$＞0，x₂=$\frac{-1+\sqrt{1-4a}}{2a}$＜0，
所以函數f（x）在（0，$\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2a}$）上單調遞增； 在（$\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2a}$，+∞）上遞減          …（5分）
綜上，當a≥0時，f（x）的單調遞增區間是（0，+∞）； 
當a＜0時，函數f（x）在（0，$\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2a}$）上單調遞增； 在（$\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2a}$，+∞）上遞減．…（6分）（Ⅱ）設切點（m，lnm-$\frac{1}{m}$），
則切線方程為y-（lnm-$\frac{1}{m}$）=（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$）（x-m），
即y=（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$）x-（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$）m+lnm-$\frac{1}{m}$，
亦即y=（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$）x+lnm-$\frac{2}{m}$-1，
令$\frac{1}{m}$=t＞0，由題意得-a=$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$=t+t²，b=lnm-$\frac{2}{m}$-1=-lnt-2t-1，…（8分）
令-a+b=φ（t）=-lnt+t²-t-1，
則φ′（t）=-$\frac{1}{t}$+2t-1=$\frac{（2t+1）（t-1）}{t}$，
當t∈（0，1）時，φ′（t）＜0，φ（t）在（0，1）上單調遞減；
當t∈（1，+∞）時，φ′（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上單調遞增，
∴b-a=φ（t）≥φ（1）=-1，
故b-a的最小值為-1．               …（12分）

點評 本題考查導數的運用：求切線方程和單調區間，考查分類討論的思想方法和構造函數法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．