Question

在△ABC中，角A、B、C對邊分別是a、b、c，且滿足2bccosA=a²-（b+c）²．若a=4

3

，△ABC的面積為4

3

．求角A的大小和邊b的長．

Answer 1

分析：利用余弦定理列出關系式，代入已知等式中變形求出cosA的值，進而確定出A度數，再利用三角形面積公式列出關系式，將sinA以及已知面積代入求出bc=16，利用余弦定理列出關系式，將a，cosA，bc的值代入求出b²+c²=32，利用完全平方公式求出b+c=8，聯立即可求出b的值．

解答：解：由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
代入2bccosA=a²-（b+c）²得，
2bccosA=b²+c²-2bccosA-b²-2bc-c²，即4bccosA=-2bc，
∴cosA=-

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

2π

3

，
∵S=

1

2

bcsinA=

1

2

bc•

3

2

=4

3

，
∴bc=16①，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
即48=b²+c²+bc=b²+c²+16，
∴b²+c²=32，
∴（b+c）²=b²+2bc+c²=32+32=64，
即b+c=8②，
聯立①②解得：b=c=4．

點評：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，以及完全平方公式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．