Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=，a_n+1=S_n+（n∈N^*，t為常數）．
（Ⅰ）若數列{a_n}為等比數列，求t的值；
（Ⅱ）若t＞-4，b_n=lga_n+1，數列{b_n}前n項和為T_n，當且僅當n=6時T_n取最小值，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用數列遞推式，再寫一式，兩式相減，結合數列{a_n}為等比數列，即可求t的值；
（Ⅱ）確定數列{b_n}是等差數列，利用當且僅當n=6時，T_n取最小值，可得b₆＜0且b₇＞0，解不等式，即可求t的取值范圍．
解答：解：（I）∵
（1）-（2）得：a_n+1=2a_n（n≥2）…（2分）
∵數列{a_n}為等比數列，∴…..（4分）
∵，a₁=，
∴，∴t=4…（6分）
（II），a_n+1=2a_n（n＞1），∴…．（8分）
∵a₂，a₃，a₄…a_n+1成等比數列，b_n=lga_n+1，
∴數列{b_n}是等差數列
∵數列{b_n}前n項和為T_n，當且僅當n=6時，T_n取最小值，∴b₆＜0且b₇＞0…（10分）
可得0＜a₇＜1且a₈＞1，…（12分）
∴0＜16+4t＜1且32+2t＞1，
∴…（14分）
點評：本題考查數列遞推式，考查等差數列與等比數列的綜合，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．