Question

設
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a、使得關于x的不等式lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，試說明理由；

Answer 1

證明：（1）∵
∴，
設．
∴，
∴y=g（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)．
∴，
∴，
∴函數(shù)在（1，+∞）上為減函數(shù)．
（2）lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，?lnx-a（x-1）＜0在（1，+∞）上恒成立，
設h（x）=lnx-a（x-1），則h（1）=0，
∴，
若a≤0顯然不滿足條件，
若a≥1，則x∈[1，+∞）時，恒成立，
∴h（x）=lnx-a（x-1）在[1，+∞）上為減函數(shù)
∴l(xiāng)nx-a（x-1）＜h（1）=0在（0，+∞）上恒成立，
∴l(xiāng)nx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，
若0＜a＜1，則時，，
∴時h'（x）≥0，
∴h（x）=lnx-a（x-1）在上為增函數(shù)，
當時，h（x）=lnx-a（x-1）＞0，
不能使lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立，
∴a≥1
分析：（1）對f（x）求導后，構造新的函數(shù)g（x），利用導數(shù)求解函數(shù)單調(diào)的方法步驟進行求解．
（2）根據(jù)已知lnx＜a（x-1）在（1，+∞）上恒成立等價于lnx-a（x-1）＜0在（1，+∞）上恒成立，構造新的函數(shù)h（x）=lnx-a（x-1），本題所要求的a的取值范圍，只需滿足一個條件：使得h（x）在定義域內(nèi)為減函數(shù)即可．
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，這一道題的新穎之處是構造新的函數(shù)，這也是教學中的重點和難點，希望在平時多加練習，掌握要領．