Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²-n-2，若a_m，a_m+1，a_m+3成等比數列，則正整數m的值為

 

．

Answer 1

分析：根據s_n與a_n的關系式：a_n=

s1      n=1 sn-sn-1n≥ 2

，求出通項公式，驗證n=1時是否成立，根據等比中項求m的值．

解答：解：∵S_n=n²-n-2，∴當n=1時，a₁=s₁=-2，
當n=1時，a_n=s_n-s_n-1=2（n-1），
∵當n=1時代入上式驗證不滿足，∴a_n=

-2         n=1 2(n-1)   n≥2

，
∵a_m，a_m+1，a_m+3成等比數列
∴當m=1時，（a₂）²=a₁×a₃，無解；
當m≥2時，a_m+1²=a_m×a_m+2，即m²=m²+m-2，解得，m=2
故答案為：2．

點評：本題是由數列的前項和公式求通項公式a_n，注意驗證n=1時是否成立，不成立時用分段函數來表示；求m的值時，分兩種情況求解．