Question

設AB是圓x²+y²=1的一條直徑，以AB為直角邊、B為直角頂點,逆時針方向作等腰直角三角形ABC.當AB變動時，求C點的軌跡.

Answer 1

所求軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓.

解析:

解法一:(參數(shù)法)取∠xOB=θ為參數(shù)，則B(cosθ,sinθ),

于是，(x－cosθ)²+(y－sinθ)²=4.

=－cotθ,消去θ得x²+y²=5.

故所求軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓.

解法二:(相關點法)設C(x,y)、B(x₀,y₀),

當x₀、y₀≠0時，

則(x－x₀)²+(y－y₀)²=4.

·=－1.由x₀²+y₀²=1消去x₀、y₀得軌跡方程.顯然當x₀=0或y₀=0時，方程也適合.

解法三:(幾何法)連結(jié)CO，因為|OC|²=|OB|²+|AB|²=5為定值，故其軌跡為圓.

評析:求軌跡的方法很多，注意合理選取，參數(shù)法求軌跡方程是常用方法之一，常用到的參數(shù)有斜率、點的坐標、長度、夾角等.