Question

（本題滿分13分）

設點P是圓x² +y² =4上任意一點，由點P向x軸作垂線PP₀，垂足為P_o，且．

（Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；

（Ⅱ）設直線：y=kx+m(m≠0)與（Ⅰ）中的軌跡C交于不同的兩點A，B．

（1）若直線OA，AB，OB的斜率成等比數列，求實數m的取值范圍；

（2）若以AB為直徑的圓過曲線C與x軸正半軸的交點Q，求證：直線過定點(Q點除外)，并求出該定點的坐標．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.（Ⅱ）（i）.（ii）直線過定點.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設點，，則由題意知.

由，，且，

得.

所以于是

又，所以.

所以，點M的軌跡C的方程為.……………………（3分）

（Ⅱ）設， .

聯立

得.       

所以，，即.    ①

且       ………………………………（5分）

（i）依題意，，即.

.

，即.

，，解得.

將代入①，得.

所以，的取值范圍是.   ……………………（8分）

（ii）曲線與軸正半軸的交點為.

依題意，， 即.

于是.

，即，

.

化簡，得.

解得，或，且均滿足.

當時，直線的方程為，直線過定點(舍去)；

當時，直線的方程為，直線過定點.

所以，直線過定點.   ………………………………（13分）

考點：本題主要考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關系。

點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題，本題利用相關點法求軌跡方程，相關點法 根據相關點所滿足的方程，通過轉換而求動點的軌跡方程．本題較難。