Question

已知一個數列的各項都是1或2．首項為1，且在第個1和第個1之間有個2，即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…．記數列的前項的和為．

參考：31×32=992，32×33＝1056，44×45=1980，45×46=2070，2011×2012＝4046132

（１）試問第2012個1為該數列的第幾項？

（２）求和；

（３）（特保班做）是否存在正整數，使得？如果存在,求出的值；如果不存在,請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（１）4046133（２），（３）存在，=993+29=1022

【解析】本小題關鍵是讀懂題意歸納出規律：將第k個1與第k+1個1前的2記為第k對，即　(1,2)為第1對，共1+1=2項；(1,2,2,2)為第2對，共1+3=4項；….

從而可歸納出為第k對，共項, 故前k對共有項數為.

（1）（2）在此基礎上容易解決.

（3）解本小題的關鍵是確定前k對所在全部項的和為,問題到此基本得以解決.

解：將第個1與第個1前的2記為第對，

即　為第1對，共項；

為第2對，共項；……；

 為第k對，共項；

故前k對共有項數為．

（１）第2012個1所在的項之前共有2011對，所以2012個1為該數列的

2011×(2011+1)+1=4046133（項）

（２）因44×45=1980，45×46=2070，，

故第2012項在第45對中的第32個數，從而

    　　　又前2012項中共有45個1，其余2012－45＝1967個數均為2，

于是

（３）前k對所在全部項的和為，易得，

，，

即且自第994項到第1056項均為2，而2012-1954=58能被2整除，

故存在=993+29=1022，使．