Question

已知一個(gè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是1或2．首項(xiàng)為1，且在第k個(gè)1和第k+1個(gè)1之間有2k-1個(gè)2，即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…．記數(shù)列的前n項(xiàng)的和為S_n．參考：31×32=992，32×33=1056，44×45=1980，45×46=2070
（I）試問(wèn)第10個(gè)1為該數(shù)列的第幾項(xiàng)？
（II）求a₂₀₁₂和S₂₀₁₂；
（III）是否存在正整數(shù)m，使得S_m=2012？如果存在，求出m的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（I）將第k個(gè)1與第k+1個(gè)1前的2記為第k對(duì)，
即（1，2）為第1對(duì)，共1+1=2項(xiàng)；（1，2，2，2）為第2對(duì)，共1+3=4項(xiàng)；…；
(1，

2，2，2，…2)

共2k-1個(gè)2

為第k對(duì)，共1+（2k-1）=2k項(xiàng)；
故前k對(duì)共有項(xiàng)數(shù)為2+4+…+2k=k（k+1）．
第10個(gè)1所在的項(xiàng)之前共有9對(duì)，所以10個(gè)1為該數(shù)列的
9×（9+1）+1=91（項(xiàng)）．…（6分）
（II）因44×45=1980，45×46=2070，2012-1980=32，
故第2012項(xiàng)在第45對(duì)中的第32個(gè)數(shù)，從而a₂₀₁₂=2
又前2012項(xiàng)中共有45個(gè)1，其余2012-45=1967個(gè)數(shù)均為2，
于是S₂₀₁₂=45×1+1967×2=3979…（10分）
（III）∵前k對(duì)所在全部項(xiàng)的和為Sk×(k+1)=k+2[k(k+1)-k=2k2+k]，
∴S31×32=S992=2×312+31=1953，
S32×33=S1056=2×322+32=2080，
即S₉₉₃=1954且自第994項(xiàng)到第1056項(xiàng)均為2，而2012-1954=58能被2整除，
故存在m=993+29=1022，使S₁₀₂₂=2012．…（14分）