Question

已知一個數列{a_n}的各項都是1或2．首項為1，且在第k個1和第k+1個1之間有2k-1個2，即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…．記數列的前n項的和為S_n．參考：31×32=992，32×33=1056，44×45=1980，45×46=2070
（I）試問第10個1為該數列的第幾項？
（II）求a₂₀₁₂和S₂₀₁₂；
（III）是否存在正整數m，使得S_m=2012？如果存在，求出m的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）將第k個1與第k+1個1前的2記為第k對，得到前k對共有項數為2+4+…+2k=k（k+1）．由此能求出第10個1為該數列的第幾項．
（II）由44×45=1980，45×46=2070，2012-1980=32，知第2012項在第45對中的第32個數，由此能求出a₂₀₁₂和S₂₀₁₂．
（III）由前k對所在全部項的和為Sk×(k+1)=k+2[k(k+1)-k=2k2+k]，能推導出S₉₉₃=1954且自第994項到第1056項均為2，而2012-1954=58能被2整除，由此得到存在m=993+29=1022，使S₁₀₂₂=2012．

解答：解：（I）將第k個1與第k+1個1前的2記為第k對，
即（1，2）為第1對，共1+1=2項；（1，2，2，2）為第2對，共1+3=4項；…；
(1，

2，2，2，…2)

共2k-1個2

為第k對，共1+（2k-1）=2k項；
故前k對共有項數為2+4+…+2k=k（k+1）．
第10個1所在的項之前共有9對，所以10個1為該數列的
9×（9+1）+1=91（項）．…（6分）
（II）因44×45=1980，45×46=2070，2012-1980=32，
故第2012項在第45對中的第32個數，從而a₂₀₁₂=2
又前2012項中共有45個1，其余2012-45=1967個數均為2，
于是S₂₀₁₂=45×1+1967×2=3979…（10分）
（III）∵前k對所在全部項的和為Sk×(k+1)=k+2[k(k+1)-k=2k2+k]，
∴S31×32=S992=2×312+31=1953，
S32×33=S1056=2×322+32=2080，
即S₉₉₃=1954且自第994項到第1056項均為2，而2012-1954=58能被2整除，
故存在m=993+29=1022，使S₁₀₂₂=2012．…（14分）

點評：本題考查數列知識的綜合運用，具有一定的探索性，對數學思維的要求較高，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．