Question

已知一個數列{a_n}的前n項和是Sn=

1

4

n2+

2

3

n+3，
（1）求a₁的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）證明{a_n}不是等差數列．

Answer 1

分析：（1）令n=1，利用等式Sn=

1

4

n2+

2

3

n+3直接可以求出a₁的值，
（2）由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）得，求出n≥2時a_n的表達式，然后求出a₁的值，是否與（1）問求出a₁的值相符，
（3）由（2）問可知，當n≥2時，a_n=

1

2

n-

5

12

是等差數列，a₁不滿足等式，故可證明{a_n}不是等差數列．

解答：解：（1）∵Sn=

1

4

n2+

2

3

n+3，
∴a₁=S₁=

1

4

+

2

3

+3=

47

12

，
（2）由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）得，
a_n=

1

4

n2+

2

3

n+3-

1

4

（n-1）²-

2

3

（n-1）-3=

1

2

n-

5

12

，
當n=1時，a₁=

1

12

，
∴a_n=

1 2 n- 5 12   n≥2 47 12    n=1

，
（3）當n≥2，a_n=

1

2

n-

5

12

是等差數列，當n=1時，a₁不滿足等式，
故{a_n}不是等差數列．

點評：本題主要考查數列遞推式和等差關系的確定的知識點，解答本題的關鍵是由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求出a_n的表達式，此題難度一般．