Question

已知函數f（x）對一切實數x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）函數g（x）=xf（x+x）在[0，2]上何處取得極值，最值是多少？

Answer 1

分析：（1）令x=1，y=0，結合f（1）=0，可求f（0）的值；
（2）令y=0，可求函數的解析式；
（3）函數g（x）=xf（x）+x=x³+x²-x，求導函數，確定g（x）在[0，2]上先減后增，由此可得結論．

解答：解：（1）令x=1，y=0，則f（1）-f（0）=2
∵f（1）=0，∴f（0）=-2 
（2）令y=0，則f（x）=f（0）+x（x+1）=x²+x-2  
（3）函數g（x）=xf（x）+x=x³+x²-x，求導函數可得g′（x）=3x²+2x-1
∴當0＜x＜

1

3

時，g′（x）＜0，當

1

3

＜x＜2時，g′（x）＞0，
∴g（x）在[0，2]上先減后增，
∴g（x）_max=g（2）=10，g（x）_min=g（

1

3

）=-

5

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點評：本題考查賦值法的運用，考查利用導數求函數的最值，屬于中檔題．