Question

已知函數f（x）=

x2

a

+bx-lnx．
（1）若a=b=1，求函數f（x）的單調性與極值；
（2）若b=-1，函數f（x）有且只有一個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數的零點,利用導數研究函數的極值

專題：計算題,轉化思想,導數的綜合應用

分析：（1）求出導數，分別令導數大于0，小于0，即可得到增區間和減區間，極值，注意定義域．
（2）利用參數分離將問題轉化成

1

a

=

x+lnx

x2

有唯一正實數根，再通過求導的方式研究其性質，注意到函數的導函數比較復雜，因此在研究時，可將導函數分成分子，分母來分別研究．

解答： 解：（1）f（x）=x²+x-lnx，（x＞0），
f′（x）=2x+1-

1

x

=

(2x-1)(x+1)

x

，
當x＞

1

2

時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當0＜x＜

1

2

時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
則函數f（x）的單調增區間為（

1

2

，+∞），
單調遞減區間（0，

1

2

）．有極小值f（

1

2

）=

3

4

+ln2，無極大值；
（2）由f（x）=

x2

a

-x-lnx=0，即

1

a

=

x+lnx

x2

有唯一正實數根．
令g（x）=

x+lnx

x2

，即函數y=

1

a

與函數y=g（x）有唯一交點；
g′（x）=

x-x2-2xlnx

x4

=

1-x-2lnx

x3

，
再令R（x）=1-x-2lnx，R'（x）=-1-

2

x

，?x＞0，
且易得R（1）=0，
故當x∈（0，1）時，R（x）＞0，g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增；
當x∈（1，+∞）時，R（x）＜0，g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減；
即g（x）≤g（1）=1，
又當x→0時，g（x）→-∞，
而當x→+∞時，g（x）→0且g（x）＞0，
故滿足條件的實數a的取值范圍為：{a|a＜0，或a=1}．

點評：本題考查導數的運用：求單調區間和極值、最值，考查參數分離是恒成立問題中常用的技巧方法，值得一提的是在用導數的方法研究函數性質時，當所求的導函數形式比較復雜時，可以考慮分別去研究函數的性質，屬于中檔題．