Question

已知P是拋物線x²=4y上的一點，A（2，3）是平面內的一定點，F是拋物線的焦點，當P點坐標是

（2，1）

時，PA+PF 最小．

Answer 1

分析：設點P在準線上的射影為Q，連結PQ，由拋物線的定義得PA+PF=PA+PQ，根據平面幾何知識得A、P、Q三點共線時，PA+PQ達到最小值．由此加以計算，即可得到使得PA+PF取最小值的P點坐標．

解答：解：∵拋物線x²=4y中，2p=4，得

p

2

=1，
∴拋物線的焦點為F（0，1），準線為y=-1，
設P在準線上的射影為Q，連結PQ，
根據拋物線的定義，得PA+PF=PA+PQ，
由平面幾何的性質，當A、P、Q三點共線時，PA+PQ達到最小值．
∴當A、P、Q的橫坐標相等時，三點共線且所在直線與準線垂直，
此時PA+PF達到最小值．
即當P的橫坐標為2時PA+PF 最小，設P（2，n）代入拋物線得2²=4n，解得n=1，得P（2，1）．
故答案為：（2，1）

點評：本題給出定點A與拋物線上的動點P，求拋物線的焦點和A點到點P距離之和的最小值．著重考查了拋物線的定義、標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．