Question

已知P是拋物線x²=4y上的一個動點，則點P到直線l₁：4x-3y-7=0和l₂：y+2=0的距離之和的最小值是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據題意，設P的坐標為（a，

1

4

a²），利用點到直線的距離公式分別算出P到直線l₁的距離d₁=

1

5

（

3

4

a²-4a+7）和P到直線l₂的距離d₂=

1

4

a²+2，得到d₁+d₂關于a的二次函數式，利用二次函數的性質可求出d₁+d₂的最小值，從而得到答案．

解答：解：由P是拋物線x²=4y上的動點，設點P的坐標為（a，

1

4

a²），
∴點P到直線l₁：4x-3y-7=0的距離d₁=

|4a- 3 4 a2 -7|

42+(-3)2

=

|4a- 3 4 a2-7|

5

，
點P到直線l₂：y+2=0的距離d₂=

1

4

a²+2．
由此可得兩個距離之和為
d₁+d₂=

|4a- 3 4 a2-7|

5

+a²+2=

1

5

（

3

4

a²-4a+7）+

1

4

a²+2=

2

5

a²-

4

5

a+

17

5

=

2

5

（a-2）²+3，
∴當a=2時，d₁+d₂的最小值是3，即所求兩個距離之和的最小值是3．
故選：C

點評：本題給出拋物線上的動點P，求P到兩條直線l₁、l₂的距離之和的最小值，著重考查了點到直線的距離公式、拋物線的簡單幾何性質和二次函數的性質等知識，屬于中檔題．