Question

【題目】設正整數數列滿足.

(1)若，請寫出所有可能的的取值；

(2)求證：中一定有一項的值為1或3；

(3)若正整數m滿足當時，中存在一項值為1，則稱m為“歸一數”，是否存在正整數m，使得m與都不是“歸一數”？若存在，請求出m的最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）可能取得值為：，，，（2）證明見解析，（3）不存在。

【解析】

（1）利用數列的遞推關系，分類討論，即可得出可能取得的值.

（2）首先設中最小的奇數為，根據題意得到：，再對分奇數和偶數討論即可.

（3）由題知：中一定有，設，得到，，…….均為的倍數.故不存在正整數m，使得m與都不是“歸一數”.

（1）由題知：數列各項均為正整數，

或，解得：或（舍去）.

或，解得：或（舍去）.

或，解得：或.

當時，或，解得：或.

當時，或，解得：或（舍去）.

故可能取得值為：，，.

（2）因為為正整數數列，設中最小的奇數為，

所以為偶數.

所以，此時可能為奇數或偶數.

當為奇數時，則，解得：.

所以或.

當為偶數時，則，解得：.

所以或.

綜上所述：中一定有一項的值為或.

（3）由（2）知：中一定有，由題知：

因為，

所以或.

設，則，，…….均為的倍數.

故不存在正整數m，使得m與都不是“歸一數”.