Question

已知函數f（x）=51nx+ax²-6x（a為常數），且f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸．
（1）求實數a的值；
（2）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（I）利用導數的幾何意義可得f'（1）=0，解出a即可；
（II）利用導數的運算法則得出f^′（x），解出f^′（x）＞0或f^′（x）＜0，即可得出函數的單調區間．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=5lnx+ax²-6x，∴f′(x)=

5

x

+2ax-6(x＞0)；
又∵f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，
∴f'（1）=5+2a-6=0，得a=

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=5lnx+

1

2

x2-6x，
∴f′(x)=

x2-6x+5

x

=

(x-1)(x-5)

x

(x＞0)；
由f'（x）＞0得x＜1，或x＞5；由f'（x）＜0，1＜x＜5．
∴函數f （x） 的單調遞增區間為 （0，1）和 （5，+∞），單調遞減區間為 （1，5 ）．

點評：熟練掌握導數的運算法則、利用導數研究函數的單調性、導數的幾何意義是解題的關鍵．