Question

（2011•重慶三模）過曲線y=

2

x+1

上的一點Q₀（0，2）作曲線的切線，交x軸于點P₁，過P₁作垂直于x軸的直線交曲線于Q₁，過Q₁作曲線的切線，交x軸于點P₂；過P₂作垂直于x軸的直線交曲線于Q₂，過Q₂作曲線的切線，交x軸于點P₃；…如此繼續(xù)下去得到點列：P₁，P₂，P₃，…P_n，…，設P_n的橫坐標為x_n（n∈N^*）
（I）試用n表示x_n；
（II）證明：

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

＜

11

6

；
（III）證明：

1

xn

＞

1

xn+1

+

1

xn+2

+

1

xn+3

+…．

Answer 1

分析：（Ⅰ）y′=-

2

(x+1)2

，所以曲線在Qn-1(xn-1，

2

xn-1+1

)處的切線為：y-

2

xn-1+1

=-

2

(xn-1+1)2

(x-xn-1)，由此能求出x_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）當n≥3時，有2ⁿ＞2^n-1+1，所以

1

2n-1

＜

1

2n-1

，則當n≥3時，Sn=1+

1

3

+

n

i=3

1

2i-1

＜

4

3

+

n

i=3

1

2i-1

=

4

3

+

1 4 [1-( 1 2 )n-2]

1- 1 2

^  由此能證明

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

＜

11

6

．
（Ⅲ）由

1

xn+1

=

1

2n+1-1

＜

1

2n+1-2

=

1

2xn

，知

1

xn+1

+

1

xn+2

+

1

xn+3

+…＜

1

2

(

1

xn

+

1

xn+1

+

1

xn+2

+…)，由此能夠證明

1

xn

＞

1

xn+1

+

1

xn+2

+

1

xn+3

+…．

解答：解：（Ⅰ）y′=-

2

(x+1)2

，-----------（1分）
所以曲線在Qn-1(xn-1，

2

xn-1+1

)處的切線為：
y-

2

xn-1+1

=-

2

(xn-1+1)2

(x-xn-1)-------------（2分）
設直線和x軸交點橫坐標x_n=2x_n-1+1，
即x_n+1=2（x_n-1+1），另可解x₁=1
則x_n+1=2ⁿ，
∴x_n=2ⁿ-1…（4分）
（Ⅱ）當n≥3時，有2ⁿ＞2^n-1+1，
∴

1

2n-1

＜

1

2n-1

----------（5分）
則當n≥3時，
Sn=1+

1

3

+

n

i=3

1

2i-1

＜

4

3

+

n

i=3

1

2i-1

=

4

3

+

1 4 [1-( 1 2 )n-2]

1- 1 2

^  -------------------------（7分）
另S1=1＜

11

6

，S2=

4

3

＜

11

6

，故Sn＜

11

6

…（8分）
（Ⅲ）∵

1

xn+1

=

1

2n+1-1

＜

1

2n+1-2

=

1

2xn

，---------------（9分）
∴

1

xn+1

+

1

xn+2

+

1

xn+3

+…＜

1

2

(

1

xn

+

1

xn+1

+

1

xn+2

+…)，
即2(

1

xn+1

+

1

xn+2

+

1

xn+3

+…)＜

1

xn

+

1

xn+1

+

1

xn+2

+…，
移項得：

1

xn+1

+

1

xn+2

+

1

xn+3

+…＜

1

xn

------------------（12分）
∴

1

xn

＞

1

xn+1

+

1

xn+2

+

1

xn+3

+…．

點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運用，計算量大，綜合性質(zhì)強，比較繁瑣．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化，注意計算能力的培養(yǎng)．