Question

命題p：關于x的不等式x²+2ax+4＞0對于一切x∈R恒成立，命題q：?x∈[1，2]，x²-a≥0，若p∨q為真，p∧q為假．求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據二次函數的圖象和性質我們可以求出命題p：關于x的不等式x²+2ax+4＞0對于一切x∈R恒成立時，及命題q：?x∈[1，2]，x²-a≥0時，a的取值范圍，根據p∨q為真，p∧q為假，結合復合命題的真值表，可得p、q一真一假，分類討論后可得實數a的取值范圍．

解答：解：設g（x）=x²+2ax+4，由于關于x的不等式x²+2ax+4＞0對于一切x∈R恒成立，
所以函數g（x）的圖象開口向上且與x軸沒有交點，
故△=4a²-16＜0，
∴-2＜a＜2．…（2分）
若q為真命題，a≤x²恒成立，即a≤1．…（4分）
由于p或q為真，p且q為假，可知p、q一真一假．…（5分）
①若p真q假，則

-2＜a＜2 a＞1

∴1＜a＜2；…（7分）
②若p假q真，則

a≤-2 a＜1

∴a≤-2；…（9分）
綜上可知，所求實數a的取值范圍是{a|1＜a＜2或a≤-2}…（10分）

點評：本題以復合命題的真假判斷為載體考查了二次不等式恒成立問題，其中根據二次函數的圖象和性質，分別求出對應的a值，是解答本題的關鍵．