Question

已知命題p：關于x的方程x2+mx+

1

2

=0有兩個不等的負根；命題q：函數f(x)=lg[(1-

1

m

)x2+2(m-1)x+m]的定義域為R．
（1）若命題p、q都是真命題時m的取值范圍分別是集合A和集合B，求集合A和集合B；
（2）若命題“（?p）∨（?q）”是假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）命題p是真命題時，

△1=m2-2＞0 x1+x2=-m＜0 x1x2= 1 2 ＞0

命題q是真命題時，(1-

1

m

)x2+2(m-1)x+m＞0對?x∈R恒成立，
可結合二次函數的圖象進行處理．分1-

1

m

= 0和1-

1

m

＞0兩種情況進行討論．
（2）若命題“（?p）∨（?q）”是假命題，即p和q均為真命題，只要求集合A和B的交集．

解答：解：（1）當命題p是真命題時：
設x₁，x₂是方程x2+mx+

1

2

=0的兩個根，
則有：

△1=m2-2＞0 x1+x2=-m＜0 x1x2= 1 2 ＞0

解得：m＞

2

，即集合A={x|m＞

2

}．
當命題q是真命題時：
①當1-

1

m

=0即m=1時，f（x）=lg1，
定義域為R，符合題意；
②當1-

1

m

≠0即m≠1且m≠0時，
由

1- 1 m ＞0 △2=4(m-1)2-4m• m-1 m ＜0

，
得

m＜0，或m＞1 1＜m＜2

即1＜m＜2
綜上，1≤m＜2，所以集合B={m|1≤m＜2}．
（2）命題“（?p）∨（?q）”是假命題，
即p∧q是真命題（11分）
所以有

m＞ 2 1≤m＜2

解得：

2

＜m＜2．

點評：本題以復合命題的真假為載體考查二次方程實根分布問題和二次不等式很成立問題．
二次方程實根分布問題和二次不等式很成立問題都要結合二次函數的圖象進行處理，體現函數、方程、不等式的聯系．