Question

設命題P：關于x的不等2^x＜a的解集為∅；命題q：函數y=lg（ax²-x+a）的定義域是R．若“p∨q”為真，“p∧q”為假，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：求出使不等式2^x＜a的解集為∅的a的取值范圍，也就是命題p為真命題的a的范圍，取其補集得到使命題p為假命題的a的取值范圍，同樣求出使函數y=lg（ax²-x+a）的定義域是R的a的取值范圍，也就是使命題q為真命題的a的取值范圍，取其補集得到命題q為假命題的a的取值范圍，取交集后在取并集運算．

解答：解：因為2^x＞0，所以要使關于x的不等2^x＜a的解集為∅，則a≤0，即p真：a≤0；則p假：a＞0．
要使函數y=lg（ax²-x+a）的定義域是R，則

a＞0 (-1)2-4a2＜0

，解得a＞

1

2

，即q真：a＞

1

2

；則q假：a≤

1

2

．
若“p∨q”為真，“p∧q”為假，則p真q假或p假q真．
若p真q假，則a≤0；若p假q真，則a＞

1

2

．
故“p∨q”為真，“p∧q”為假的a的取值范圍是(-∞，0]∪(

1

2

，+∞)．

點評：本題考查了復合命題的真假判斷，考查了指數函數的值域及對數型函數定義域的求法，解答過程運用了補集思想，關鍵是要熟記復合命題的真值表，屬基礎題．