Question

已知向量

a

=(

1

sinx

，-

1

sinx

)，

b

=(2，cos2x)，其中x∈(0，

π

2

]．
（1）試判斷

a

與

b

能否平行？并說明理由；
（2）求f（x）=

a

•

b

的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意，可先假定兩向量平行，則由向量共線的條件可得出

1

sinx

×cos2x+

2

sinx

=0，由此方程得出cos2x=-2，矛盾即可得出結(jié)論；
（2）由題意，可先由向量的數(shù)量積公式得出函數(shù)解析式，將此解析式變形，觀察知可用基本不等式求最小值，由此即可解出函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）

a

與

b

不能平行，理由如下
若

a

∥

b

，則

1

sinx

×cos2x+

2

sinx

=0
∵x∈(0，

π

2

]，
∴sinx≠0，
∴cos2x=-2，
這與|cos2x|≤1矛盾，
故

a

與

b

 不能平行
（2）由題意f（x）=

a

•

b

=

2

sinx

-

1

sinx

×cos2x=

2-cos2x

sinx

=

1

sinx

+2sinx
∵x∈(0，

π

2

]
∴sinx∈（0，1]．
∴f（x）=

1

sinx

+2sinx≥2

1 sinx ×2sinx

=2

2

當且僅當

1

sinx

=2sinx，即x=

π

4

時取等號
∴f（x）=

a

•

b

的最小值是2

2

點評：本題考查基本不等式在求最值問題中的應(yīng)用，二倍角的余弦，數(shù)量積的坐標表示，向量共線的坐標表示，第一小題中解題的關(guān)鍵是利用反證法的思想，先假設(shè)存在，由此推出矛盾，第二小題解題的關(guān)鍵是對所得的三角函數(shù)解析式進行變化，得出可用基本不等式求最值的形式，此處有一易漏點，易忘記驗證等號成立的條件，使用基本不等式求最值時要切記，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，反證法的思想，考查了推理判斷的能力及符號計算的能力，是一個易錯題．