Question

已知向量

a

=(

1

sinx

，

-1

sinx

)，

b

=(2，cos2x)．
（1）若x∈(0，

π

2

]，試判斷

a

與

b

能否平行？
（2）若x∈(0，

π

3

]，求函數f(x)=

a

•

b

的最小值．

Answer 1

分析：（1）若

a

與

b

平行，則有

1

sinx

•cos2x=

-1

sinx

•2，解得cos2x=-2，這與|cos2x|≤1相矛盾，故

a

與

b

不能平行．
（2）化簡函數的解析式為2sinx +

1

sinx

，根據x∈(0，

π

3

]，得sinx∈(0，

3

2

]，利用基本不等式求出其最小值．

解答：解：（1）若

a

與

b

平行，則有

1

sinx

•cos2x=

-1

sinx

•2，
因為x∈(0，

π

2

]，sinx≠0，所以得cos2x=-2，這與|cos2x|≤1相矛盾，故

a

與

b

不能平行．
（2）由于f(x)=

a

•

b

=

2

sinx

+

-cos2x

sinx

=

2-cos2x

sinx

=

1+2sin2x

sinx

=2sinx+

1

sinx

，
又因為x∈(0，

π

3

]，所以sinx∈(0，

3

2

]，
于是2sinx+

1

sinx

≥2

2sinx• 1 sinx

=2

2

，
當2sinx=

1

sinx

，即sinx=

2

2

時取等號．
故函數f（x）的最小值等于2

2

．

點評：本題考查兩個向量共線的性質，兩個向量的數量積公式，兩個向量坐標形式的運算，基本不等式的應用，在利用基本不等式時，要注意檢驗等號成立的條件，這是解題的易錯點．