Question

已知向量

a

=(

1

sinx

，

-1

sinx

)，

b

=(2，cos2x)．
（1）若x∈(0，

π

2

]，試判斷

a

與

b

能否平行？
（2）若x∈(0，

π

3

]，求函數(shù)f(x)=

a

•

b

的最小值．

Answer 1

（1）若

a

與

b

平行，則有

1

sinx

•cos2x=

-1

sinx

•2，
因?yàn)?span mathtag="math" >x∈(0，

π

2

]，sinx≠0，所以得cos2x=-2，這與|cos2x|≤1相矛盾，故

a

與

b

不能平行．
（2）由于f(x)=

a

•

b

=

2

sinx

+

-cos2x

sinx

=

2-cos2x

sinx

=

1+2sin2x

sinx

=2sinx+

1

sinx

，
又因?yàn)?span mathtag="math" >x∈(0，

π

3

]，所以sinx∈(0，

3

2

]，
于是2sinx+

1

sinx

≥2

2sinx• 1 sinx

=2

2

，
當(dāng)2sinx=

1

sinx

，即sinx=

2

2

時取等號．
故函數(shù)f（x）的最小值等于2

2

．