Question

四面體的六條棱中，有五條棱長都等于a，則該四面體的體積的最大值為（　　）

• A．

  3

  8

  a³
• B．

  2

  8

  a³
• C．

  1

  8

  a³
• D．

  1

  12

  a³

Answer 1

分析：由已知中一個四面體有五條棱長都等于2，我們易得該四面體必然有兩個面為等邊三角形，我們根據棱錐的幾何特征，分析出當這兩個平面垂直時，該四面體的體積最大，將相關幾何量代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：解：若一個四面體有五條棱長都等于a，
則它必然有兩個面為等邊三角形，如下圖

由圖結合棱錐的體積公式，
當這兩個平面垂直時，底面積是定值，高最大，
故該四面體的體積最大，
此時棱錐的底面積S=

1

2

×a²×sin60°=

3

4

a2，
棱錐的高h=

3

2

a，
則該四面體的體積最大值為V=

1

3

×

3

4

a²×

3

2

a=

1

8

a3．
故選C．

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積公式及其幾何特征，其中根據棱錐的幾何特征，分析出當這兩個平面垂直時，該四面體的體積最大，是解答問題的關鍵．