Question

四面體的六條棱中，有五條棱長都等于a．
（Ⅰ）求該四面體的體積的最大值；
（Ⅱ）當四面體的體積最大時，求其表面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出四面體A-BCD，不妨設棱AB、AC、BC、BD、CD相等且為定值a，把棱AD看作動的棱，設為x，取AD的中點P，
連接BP、CP后，四面體A-BCD分成了兩個同底面的三棱錐A-BPC和D-BPC，四面體的體積轉化為此兩個三棱錐的體積和，整理后化為關于x的函數，然后運用基本不等式求四面體體積的最大值．
（Ⅱ）求出使四面體體積最大時的x的值，四面體的表面積就是表面四個三角形的面積和，可直接運用三角形的面積求解．

解答：解：（Ⅰ）如圖，
在四面體ABCD中，設AB=BC=CD=AC=BD=a，AD=x，取AD的中點為P，
BC的中點為E，連接BP、EP、CP．
∵AB=BD，P為AD中點，∴BP⊥AD，
∵AC=CD，P為AD中點，∴PC⊥AD，
又BP∩PC=P，∴AD⊥平面BPC，
∴V_A-BCD=V_A-BPC+V_D-BPC
=

1

3

S_△BPC•AP+

1

3

S_△BPC•PD
=

1

3

S_△BPC•AD
=

1

3

×

1

2

a×

1

2

3a2-x2

•x
=

a

12

(3a2-x2)•x2

≤

a

12

•

3a2-x2+x2

2

=

1

8

a³（當且僅當x=

6

2

a時取“=”）．
∴該四面體的體積的最大值為

1

8

a³．
（Ⅱ）由（1）知，△ABC和△BCD都是邊長為a的正三角形，
△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰長為a，底邊長為

6

2

a，
∴S_△ABC=S_△BCD=

1

2

a×

3 a

2

=

3 a2

4

，
S_△ABD=S_△ACD=

1

2

×

6 a

2

×

a2- 3 8 a2

=

15 a2

8

所以當四面體的體積最大時，其表面積S=2×

3 a2

4

+2×

15 a2

8

=

2 3 + 15

4

a²．

點評：本題考查了棱錐的體積和表面積，考查了學生的空間想象能力和數學轉化能力，考查了函數思想，運用了基本不等式求函數的最值，此題是中檔題．