Question

設橢圓方程為

x2

4

+

y2

8

=1，過原點且傾斜角為θ和π-θ（0＜θ＜

π

2

）的兩直線分別交橢圓于A，C和B，D兩點．
（1）用θ表示四邊形ABCD的面積S；
（2）當θ∈（0，

π

2

）時，求S的最大值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設出直線過原點且傾斜角為θ的直線的方程和橢圓方程聯立即可表示出四邊形ABCD的面積；
（2）根據（1）求得的面積S的函數求其最大值即可．

解答： 解：設經過原點且傾斜角為θ的直線方程為y=xtanθ，代入

x2

4

+

y2

8

=1，
求得x2=

32

8+4tan2θ

，y2=

32tan2θ

8+4tan2θ

，
由對稱性可知四邊形ABCD為矩形，又由于0＜θ＜

π

2

，
所以四邊形ABCD的面積S=4|x||y|=

32tanθ

2+tan2θ

；
（2）當0＜θ＜

π

2

時，tanθ＞0，
設t=tanθ，則S=

32t

2+t2

=

32

2 t +t

，（t＞0），
設f（t）=

2

t

+t，
f′（t）=1-

2

t2

，
當0＜t＜

2

時，f′（t）＜0；
當t＞

2

時，f′（t）＞0，
因為f（t）在t=

2

時，取最小值，
所以f（t）_min=f（

2

）=

2

2

+

2

=2

2

，
所以當tanθ=

2

時，S_max=8

2

．

點評：本題主要考查直線和橢圓的相關知識，三角函數的最值問題．