Question

【題目】已知，是橢圓：的左右兩個焦點，過的直線與交于，兩點（在第一象限），的周長為8，的離心率為.

（1）求的方程；

（2）設，為的左右頂點，直線的斜率為，的斜率為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據橢圓定義可知，周長為，結合已知求出，即可求解；

（2）若直線斜率不存在時，求出坐標，以及值，并有 ；當直線斜率存在時，設出方程與橢圓方程聯立，根據韋達定理，得出兩點坐標關系，求出，，再求出取值范圍，將表示為的二次函數，轉化求二次函數的取值范圍，即可求得結論.

解：（1）由條件得解得，

所以的方程為.

（2）由（1）得，，，

當直線的斜率不存在時，，，

，.

當直線的斜率存在時，此時直線的斜率不為0，設直線的方程為，

設，，由得

，

則，，

∴

.∴.

因為點在第一象限，所以，（為橢圓的上頂點）

∴，

∴.