Question

【題目】有一種類型的題目，此類題目有六個選項A、B、C、D、E、F，其中有三個正確選項，滿分6分，賦分標準為“每選對一個得2分，每選錯一個扣3分，最低得分為0分”.在某校的一次測試中出現了這種類型的題目，已知此題的正確答案是A、C、D，假定考生作答的答案中選項的個數不超過三個.

（1）若甲同學只能判斷選項A、D是正確的，現在他有兩種選擇：一種是將A、D作為答案，另一種是在B、C、E、F這四個選項中任選一個與A、D組成一個含三個選項的答案.則甲同學的最佳選擇是哪一種？請說明理由；

（2）若乙同學無法判斷所有選項，他決定在6個選項中任選3個作為答案：

（i）設乙同學此題得分為分，求的分布列；

（ii）已知有20名和乙同學情況相同的同學，且這20名考生答案互不相同，他們此題的平均得分為a分，現從這20名考生中任選3名考生，計算得到這3人平均得分為b分，試求a的值及的概率.

Answer 1

【答案】（1）甲同學最佳選擇是選，理由見解析；（2）（ⅰ）分布列見解析，（ⅱ）

【解析】

（1）分別計算兩種情況的得分的數學期望，從而可做出結論；

（2）（i）寫出的所有可能取值，分別計算概率即可；

（ii）由（i）的分布列可求a，再計算出的概率，從而可求的概率.

（1）設甲同學此題得分為X，

①若甲同學選擇，則，X的數學期望；

②若甲同學選擇3個選項，則其答案共種.其中得分為1分的情況有種情況，其概率為，得分為6分的情況有1種，其概率為，所以X的數學期望，

故甲同學最佳選擇是選.

（2）（i）乙同學可能的答案共種.其中得分為6分的情況有1種，概率為，

得分為1分的情況有種，概率為，

得分為0分的概率為，

故可取0，1，6，且，，，所以的分布列為：

	0	1	6
P

（ii）由（i）可知.

由于這20名考生的答案互不相同且可能的答案總數為20，因此這20名考生有10人的得分均為0分，9人的得分均為1分，1人的得分為6分.

則當時任選的3名考生的得分有3種情況符合要求：分別為0分，0分，0分或0分，0分，1分或0分，1分，1分，即任選的3名考生中3人得0分，或2人得0分，1人得1分，或1人得0分，2人得1分.

所以.

∴的概率為：.