Question

函數(shù)f（x）定義域?yàn)镃，若滿足①f（x）在C內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[m，n]⊆D使f（x）在[m，n]上的值域?yàn)閇

m

2

，

n

2

]，那么就稱y=f（x）為“希望函數(shù)”，若函數(shù)f（x）=log_a（a^x+t）（a＞0，a≠1）是“希望函數(shù)”，則t取值范圍為

（0，

1

4

）

．

Answer 1

分析：法一：由題意可知f（x）在D內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，才為“希望函數(shù)”，從而可構(gòu)造函數(shù)f（x）=

1

2

x，轉(zhuǎn)化為

1

2

x=log_a（a^x+t）有兩異正根，可求t的范圍可求．
法二：根據(jù)“希望函數(shù)”的概念利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和一元二次方程根的判別式求解．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=log_a（a^x+t）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，則若函數(shù)y=f（x）為“希望函數(shù)”，
方程f（x）=

1

2

x必有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
∵log_a（a^x+t）=

1

2

x?a^x+t=a

1

2

x?a^x-a

1

2

x+t=0，
令m=a

1

2

x
∴方程m²-m+t=0有兩個(gè)不同的正數(shù)根，
∴

△=1-4t＞0 t＞0

∴t∈（0，

1

4

）
故答案為：（0，

1

4

）
法二：依題意，函數(shù)g（x）=log_a（a^x+t）（a＞0，a≠1）在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，且t≥0，
而t=0時(shí)，g（x）=x不滿足條件②，
∴t＞0．設(shè)存在[m，n]，使得g（x）在[m，n]上的值域?yàn)閇

1

2

m，

1

2

n]，
∴

loga(am+t)= 1 2 m loga(an+t)= 1 2 n

即

a 1 2 m=am+t a 1 2 n=an+t

∴m，n是方程（a^x）²-a^x+t=0的兩個(gè)不等正實(shí)根，
∴△=1-4t＞0，且t＞0
∴0＜t＜

1

4

故答案為：（0，

1

4

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的值域，難點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)有不同二交點(diǎn)，利用方程解決．