Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，函數(shù)圖象上是否存在兩條互相垂直的切線，若存在，求出這兩條切線；若不存在，說明理由.

（2）若函數(shù)在上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）數(shù)的取值范圍是.

【解析】試題分析：

（1）求導(dǎo)可得，故對任意，都有，所以不存在兩條互相垂直的切線．（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)在上的最小值，然后根據(jù)在上有零點(diǎn)，函數(shù)的最小值小于等于可求得實(shí)數(shù)的取值范圍是．

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)，，

則，

所以對任意，都有，

故函數(shù)圖像上不存在兩條互相垂直的切線.

（2）因?yàn)?/span>在上有零點(diǎn)，

所以在區(qū)間上的最小值小于等于.

因?yàn)?/span>，

令，解得或.

①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以

由，解得，

所以.

②當(dāng)時(shí)，則，

顯然在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增，

故函數(shù)在處取得最小值，且，

因?yàn)?/span>，所以，符合條件，

故.

綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.