Question

已知雙曲線=1（α為銳角）和圓（x-m）²+y²=r²相切于點A（4，4），求α，m，r的值．

Answer 1

【答案】分析：把點A（4，4）代入雙曲線=1（α為銳角），求出α的值，聯立雙曲線和圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，△=0，和把點A（4，4）代入圓（x-m）²+y²=r²，解方程組即可求得m，r的值．
解答：解：∵點A（4，4）在雙曲線上，
∴=1，
-tanα=1
tan²α+tanα-2=0
即（tanα-1）（tanα+2）=0   解得tanα=1，tanα=-2（α不是銳角，舍去）
α=45°，
故雙曲線方程為=1（1）
又圓的方程為（x-m）²+y²=r²（2）
從（1）得y²=-16，
代入（2）得（x-m）²+，
即5x²-6mx+24m-240=0．
因為交點A是切點，故方程有等根，即其判別式為
△=3m²-40m+400=0，
m=．
由此可得，圓的圓心為（，0），
半徑r=．
點評：此題是個中檔題．本題考查了代入法求圓與雙曲線的標準方程、以及雙曲線與圓相切問題，轉化為一元二次方程有相等實根問題，體現了轉化的思想．