Question

2010年的元旦，寧波從0時到24時的氣溫變化曲線近似地滿足函數y=Asin（ωx+φ）+b（A，ω＞0，|φ|≤π）．從天氣臺得知：寧波在2010的第一天的溫度為1到9度，其中最高氣溫只出現在下午14時，最低氣溫只出現在凌晨2時．
（Ⅰ） 求函數y=Asin（ωx+φ）+b的表達式；
（Ⅱ）若元旦當地，M市的氣溫變化曲線也近似地滿足函數y=A₁sin（ω₁x+φ₁）+b₁，且氣溫變化也為1到9度，只不過最高氣溫和最低氣溫出現的時間都比寧波遲了四個小時．
（ⅰ）求早上七時，寧波與M市的兩地溫差；
（ⅱ）若同一時刻兩地的溫差不差過2度，我們稱之為溫度相近，求2010年元旦當日，寧波與M市溫度相近的時長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得，b=5，A=4，T=24，從而可確定ω，又最低氣溫只出現在凌晨2時，可求φ，從而可求函數表達式；（Ⅱ）由已知得M市的氣溫變化曲線近似地滿足函數y2=4sin(

π

12

x-π )+5，從而問題得解．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得，b=5，A=4，T=24，∴ω=

π

12

，∵最低氣溫只出現在凌晨2時，∴2ω+φ=2kπ-

π

2

，∵|φ|≤π），∴φ=-

2

3

π，則所求函數為y=4sin(

π

12

x-

2

3

π )+5
（Ⅱ）由已知得M市的氣溫變化曲線近似地滿足函數y2=4sin(

π

12

x-π )+5，y-y2=4sin(

π

12

x-

2

3

π )+5- 4sin(

π

12

x-π )+5=4sin(

π

12

x-

1

3

π )
（ⅰ）當x=7，y-y2═ 4sin(

7π

12

-

1

3

π )=2

2

（ⅱ）由-2≤4sin(

π

12

x-

1

3

π )≤2，解得2≤x≤6或14≤x≤18，則10年后元旦，寧波與M市溫度相近的時長為8小時．

點評：本題主要考查三角函數模型的運用，關鍵是挖掘問題的本質，確定三角函數的模型，進而表達出函數模型，解決實際問題