Question

已知f（x）=lnx+x²-bx．
（1）若函數f（x）在其定義域內是增函數，求b的取值范圍；
（2）當b=-1時，設g（x）=f（x）-2x²，求證函數g（x）只有一個零點．

Answer 1

分析：（1）其導函數，利用f（x）在（0，+∞）上遞增，可得f′（x）≥0，對x∈（0，+∞）恒成立，分離參數，即可求得b的取值范圍；
（2）當b=-1時，g（x）=f（x）-2x²=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞），求導函數，確定合適的單調性，利用當x≠1時，g（x）＜g（1），即g（x）＜0，當x=1時，g（x）=0，即可得到結論．

解答：（1）解：∵f（x）在（0，+∞）上遞增，
∴f′（x）=

1

x

+2x-b≥0，對x∈（0，+∞）恒成立，即b≤

1

x

+2x對x∈（0，+∞）恒成立，
∴只需b≤（

1

x

+2x）_min　（x＞0），
∵x＞0，
∴

1

x

+2x≥2

2

，當且僅當x=

2

2

時取“=”，∴b≤2

2

，
∴b的取值范圍為（-∞，2

2

]．
（2）證明：當b=-1時，g（x）=f（x）-2x²=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞），
∴g′（x）=

1

x

-2x+1=-

2x2-x-1

x

，
令g′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，
當0＜x＜1時，g′（x）＞0；當x＞1時，g′（x）＜0，
∴函數g（x）在區間（0，1）上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減，
∴當x≠1時，g（x）＜g（1），即g（x）＜0，當x=1時，g（x）=0．
∴函數g（x）只有一個零點．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性、函數的零點，解題的關鍵是確定函數的單調性，分離參數，確定函數的最小值．