Question

已知函數f（x）=|x²-2ax+b|．x∈R，給出四個命題：
①f（x）必是偶函數；
②若f（0）=f（2），則f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
③若a²-b≤0，則f（x）在[a，+∞）上是增函數；
④f（x）有最小值|a²-b|；⑤對任意x都有f（a-x）=f（a+x）；
其中正確命題的序號是

③⑤

．

Answer 1

分析：通過舉出反例加以說明，結合二次函數的圖象與性質可得①②不正確；若a²-b≤0，由根的判別式小于0得到   f（x）=x²-2ax+b，即得f（x）在[a，+∞）上是增函數，得③正確；根據根的判別式不一定小于0，得可能f（x）的最小值為0而不是|a²-b|，得④不正確；根據代入函數解析式加以驗證，可得⑤正確．

解答：解：對于①，當a=1、b=0時，f（x）=|x²-2x|為非奇非偶函數
故f（x）不一定是偶函數，得①不正確；
對于②，當a=0、b=-2時，f（x）=|x²-2|圖象不關于直線x=1對稱，
但是滿足f（0）=f（2）=2，得②不正確；
對于③，若a²-b≤0，函數t=x²-2ax+b根的判別式△=4a²-4b＜0
因此t＞0恒成立，得f（x）=x²-2ax+b，
圖象開口向上，且關于直線x=a對稱，因此f（x）在[a，+∞）上是增函數，得③正確；
對于④，當4a²-4b≥0時，f（x）=|x²-2ax+b|的最小值為0
所以f（x）的最小值不一定是|a²-b|，得④不正確；
對于⑤，因為f（a-x）=|x²-a²+b|=f（a+x），所以⑤正確；
故答案為：③⑤

點評：本題給出含有絕對值的二次函數，判斷函數的單調性、奇偶性和圖象的對稱性．著重考查了二次函數的圖象與性質、函數的零點與值域的求法，考查了命題真假的判斷等知識，屬于基礎題．