Question

如果點(diǎn)P在平面區(qū)域

2x-y+2≥0 x+y-2≤0 2y-1≥0

內(nèi)，點(diǎn)Q在曲線x²+y²-4x-4y+7=0上，則|PQ|的最小值為（　　）

• A．2
• B．

  2

• C．2

  2

  -1
• D．

  2

  -1

Answer 1

分析：先將曲線x²+y²-4x-4y+7=0化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到Q在以點(diǎn)C（2，2）為圓心，半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)．然后作出題中不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，作出點(diǎn)C到區(qū)域邊界的直線AD：x+y-2=0的垂線，可得當(dāng)點(diǎn)P與垂足重合，且動(dòng)點(diǎn)Q恰好落在垂線與圓C的交點(diǎn)時(shí)，|PQ|達(dá)到最小值．最后用點(diǎn)到直線的距離公式，可以算出點(diǎn)C到直線AD的距離，從而得到|PQ|的最小值為

2

-1．

解答：解：曲線x²+y²-4x-4y+7=0化成（x-2）²+（y-2）²=1
得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，曲線表示的是以C（2，2）為圓心，半徑為1的圓．
因此|PQ|的最小值，化為先求點(diǎn)C到平面區(qū)域

2x-y+2≥0 x+y-2≤0 2y-1≥0

內(nèi)點(diǎn)的最小值，再用這個(gè)最小值減去半徑1即可．
作出平面區(qū)域

2x-y+2≥0 x+y-2≤0 2y-1≥0

，如右圖△BAD及其內(nèi)部
過(guò)點(diǎn)C作出直線AD：x+y-2=0的垂線，
當(dāng)點(diǎn)P與垂足重合，且動(dòng)點(diǎn)Q恰好落在垂線與圓C的交點(diǎn)時(shí)，
|PQ|達(dá)到最小值．
∵點(diǎn)C（2，2）到直線AD：x+y-2=0的距離為d=

|2+2-2|

12+ 12

=

2

∴|PQ|的最小值為

2

-1
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題以圓上的動(dòng)點(diǎn)到三角形區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的最小距離問(wèn)題為載體，著重考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)到直線距離公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．